線性代數簡介第五版 1.2 節的中譯本
資源摘要
本資源提供《線性代數簡介》第五版 1.2 節的完整中譯。本節著重探討向量的點積（又稱內積）及其在幾何學中的意涵。
內容大綱
第 1.2 節一開始避開傳統的向量乘法概念，直接定義向量 v 與 w 之間的「點積」。點積不僅包含個別積 v1w1 和 v2w2，還將這兩個數相加為 v · w。具體定義如下：
- 點積定義：向量 v = (v1, v2) 與 w = (w1, w2) 的點積（內積）為 v · w： [ v · w = v1w1 + v2w2 ]
實例
- 實例 1：向量 v = (4, 2) 與 w = (−1, 2) 的點積為 0： [ \begin{bmatrix} 4 \ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \ 2 \end{bmatrix} = 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0 ] 點積為 0 表示這兩個向量是正交的，夾角為 90°。
幾何意義
點積在幾何學上的意義在於它能表示向量的長度和夾角的餘弦值。在數學中，正交向量具有特殊的性質，其點積為 0，表示它們形成一個矩形（而非僅是一個平行四邊形）。
特殊案例
- 沿座標軸的向量：沿 x 軸的向量 i = (1, 0) 與沿 y 軸的向量 j = (0, 1) 的點積為： [ i · j = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 ] 這再次驗證這兩個向量是正交的。
適用對象
本資源適用於學習線性代數的學生和教師，尤其是對向量點積及其幾何意義感興趣的讀者。透過閱讀此節，您將能更深入了解向量點積的定義和在幾何學中的應用。