MATLAB实现线性方程组求解迭代算法及性能分析
本仓库包含了一个MATLAB程序集合，专门用于演示和对比几种经典迭代法在解决线性方程组问题上的性能。线性方程组形式为 (Ax = b)，其中(A)是一个(n \times n)的矩阵，(b)是已知的向量，目标是找到未知向量(x)。
主要算法实现：
- 雅可比（Jacobi）迭代法：一种简单迭代方法，通过固定除当前计算元素外的所有元素来逼近解。
- 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法：改进版的雅可比法，利用最新的近似值进行迭代，提高了收敛速度。
- 逐次超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation, SOR）：在Gauss-Seidel基础上引入了松弛因子(\omega)，以调整迭代过程中的平衡点，优化收敛性。
- 共轭梯度法：适用于稀疏矩阵的高效迭代法，特别适合于求解大型对称正定线性系统。
实验设计：
- 矩阵尺寸设置为(n = 10, 50, 100, 200)，评估不同规模下算法的表现。
- 对每种算法，绘制其收敛曲线，展示迭代步骤与相对误差之间的关系。
- 性能对比：包括计算时间和收敛速率，同时与高斯消去法和列主元消去法进行比较。
- SOR方法中，探索不同松弛因子(\omega)对收敛速度的影响。
使用说明：
- 用户需具备基础的MATLAB编程知识。
- 在MATLAB环境中加载相应的.m文件即可运行示例。
- 可根据需要修改矩阵大小和参数，观察不同条件下的效果。
- 结果分析部分应关注迭代次数、收敛图形及计算效率的直观对比。
注意事项：
- 确保你的MATLAB版本支持所有使用的函数和特性。
- 对于大规模问题，算法的选择和参数的调优至关重要。
- 实验结果受随机初始化和具体问题特性的影响，实际应用时可能需要调整。
通过本仓库提供的资源，用户不仅能学习到这些迭代法的基本原理，还能深入理解它们在实际问题中的应用以及如何通过调整策略（如SORM中的松弛因子）来优化算法性能。这为研究和工程实践提供了宝贵的工具和案例。