高等数值计算大作业：插值与龙格现象
项目概述
本项目是高等数值计算课程的大作业，旨在深入理解插值法的基本原理以及探讨在特定条件下可能出现的龙格现象。通过实践，我们将在区间 ([-1, 1]) 上针对某一目标函数，选用不同的节点集来构建插值多项式，并细致分析这些多项式的误差表现。这不仅要求我们掌握插值技巧，还须关注随着节点数量增加时插值多项式的稳定性，特别是当这种稳定性受到破坏、导致误差非预期增大的龙格现象。
目标函数
尽管具体的目标函数未直接给出，通常此类练习会选定一个足够复杂以展示插值特性，但又不至于过于复杂以至于难以分析的函数。例如，可以考虑使用三角函数、指数函数或者它们的组合作为研究对象。学生需根据实际情况选择或定义一个函数进行插值实验。
实验步骤
- 选择节点：确定一系列插值节点，这些节点的选择对结果至关重要。可从均匀分布的点、切比雪夫节点等策略中挑选。
- 构建插值多项式：利用拉格朗日或牛顿插值公式，根据选定的节点为目标函数构造插值多项式。
- 误差分析：对于每个插值多项式，计算其与原函数之间的最大绝对误差和均方误差，评估不同节点布局对误差的影响。
- 观察龙格现象：特别关注随着插值节点数的增加，多项式行为的变化。如果出现龙格现象，即高阶多项式误差不减反增，详细记录并分析原因。
技术要点
- 插值理论基础：牢固掌握各种插值方法的基础知识。
- 数值稳定性：理解算法中的数值稳定性和精度损失问题。
- 编程实现：可能会用到Python的NumPy库、SciPy的插值模块或是MATLAB来完成计算和绘图。
结果讨论
在完成所有插值并分析误差后，应当深入探讨：
- 不同节点分布如何影响插值效果。
- 龙格现象何时何因发生，及其对实际应用的警示意义。
- 可能的改善措施，如采用更优的节点选择策略（比如最小化插值多项式的最高频率成分）。
总结
通过此项目，学生不仅能加深对插值理论的理解，还能获得处理数值计算中常见问题的实际经验，尤其是在避免和应对龙格现象方面。此外，这也是一个很好的机会，让学生将理论学习转化为解决实际数学问题的能力展现。
请注意，由于实际的代码和数据没有提供，以上内容是一个基于描述的概要性指导，用于说明如何组织项目的文档和理解其核心概念。在具体实施时，应结合课程材料和指导老师的要求细化每个环节。